Матрица: вырождение

В этом году в прокат выйдет Матрица 4. Честно говоря, побаиваюсь ее смотреть, потому что ранее мне казалось, что все сюжетные линии нормально завершились, философские идеи развиты, и вроде бы добавить уже нечего. Но раз уж фильм снят, давайте разберемся, можно ли что-то еще здесь сказать. Так как речь идет о Матрице, чтобы ориентироваться в основной линии сюжета, нам конечно же понадобится линейная алгебра. Попробуем понять, что там случилось с собственными числами в конце третьего фильма.

Ниже вы можете столкнуться с не совсем очевидной интерпретацией роли Пифии, поэтому, если нужны какие-то пояснения, рекомендую обратиться к этому ролику ЧБУ и заслуженному сайту lozhki.net).

Если не рендерятся формулы или хочется посмотреть более полную версию текста, то надо идти сюда: https://www.overleaf.com/read/tdrkccrtqndh

Краткое содержание трилогии

  1. Люди — линейный оператор h: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^n с матрицей H.
    Люди засирали планету и, если бы все шло своим чередом, засрали бы полностью. Планета — это линейная оболочка каких-то n-мерных векторов. Можно, например, последить за её подмножеством W. Через t периодов люди довели бы их до состояния H^t*W. Проблема в том, что H^t*W \longrightarrow \textbf{0} при t \longrightarrow \infty. Это угроза вырождения.
  2. Машины создавались, чтобы улучшить жизнь и экологию, но в итоге стали разумными и вполне самостоятельными. То есть тоже стали линейным оператором r: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^n , но уже с матрицей R. В результате взаимного непонимания и страха людей и машин, началась война, а закончилась она тем, что люди оказались в зависимом состоянии. Так или иначе, проблема вырождения сохранилась: под действием композиции операторов машин и людей мир продолжает катиться в тартарары: (R*H)^t*W \longrightarrow \textbf{0}. И если бы людей вовсе не осталось, он бы катился кстати точно туда же.
  3. Архитектор, одна из программ мира машин, пытается решить проблему вырождения планеты. Но как? Он меняет W: выделяет какое-то специальное подмножество векторов (Матрицу+»реальный но не очень-то мир»), меняет его версии, пытается его изменить так, чтобы хотя бы оно не вырождалось под действием людей и машин, но это раз за разом не получается. И не удивительно, потому что проблема не в том, на что действуют машины и люди, а в их собственной природе, в том как они действуют. То есть в том, что (R*H)^t * W \longrightarrow \textbf{0} при любом фиксированном W, потому что (R*H)^t  \longrightarrow \textbf{0}. А если копнуть глубже, проблема в том, что все собственные числа матрицы R*H близки к нулю: \lambda_{i} \in (-1;1). Поэтому центральная часть в спектральном разложении матрицы оператора со временем уходит в ноль, и ничего ты с этим не сделаешь, не меняя R и H:
    (R*H)^t=V*\begin{pmatrix} \lambda_{1}&0& ... &0\\0&\lambda_{2}&...&...\\...&...&\ddots&0\\0&...&0&\lambda_{n}\end{pmatrix}^t *V^{-1}
    Корень проблемы такой же и для операторов людей и машин по отдельности.
  4. Поговорим о Нео и агенте Смите. Будучи, не просто представителями своих видов (Нео — столбец матрицы H, а Смит — столбец матрицы R), но и их квинтэссенцией, они в каком-то смысле неуязвимы для любых посягательств представителей другого вида. Их просто так с пути не свернешь: Нео — собственный вектор матрицы машин R, а Смит — матрицы людей H. Поэтому после каждой отдельной драки они не помирают, не меняют направление, а остаются своей собственной (немного уставшей) копией.
  5. Что делает Пифия (другая программа из мира машин)? Она меняет местами Нео и агента Смита: Нео становится во многом программой (машиной), а Смит становится во многом человеком. Надежда у нее на следующее: соответствующие столбцы исходных матриц H и R меняются местами, тем самым меняя собственные числа композиции операторов так, что среди них появляется хотя бы один, превышающий единицу по модулю. Вместо оператора R*H теперь R'*H' и он уже не стремится к нулю при последовательном многократном применении к миру.

И вот главный вопрос! В какой доле всевозможных миров план Пифии может теоретически сработать? Это вообще возможно?

Если ответ — нет, в принципе невозможно или это очень маловероятно (и моя модель мира верна), то конец третьей Матрицы возможно дает ложную надежду. И тогда ладно уж, давайте посмотрим, какие еще у кого идеи по разрешению главного конфликта в четвертом фильме.

Если же ответ — это возможно и вполне вероятно, то четвертая Матрица точно не нужна, потому что ну что еще нужно. Куда уж красивее.

Реально, несложно показать, что существуют миры, в которых план Пифии работает. Ниже я привожу пример такого мира при n=2.

Формальные требования к устройству мира без лишних слов

0. Нео — это столбец единиц, ведь он же The One. Он — один из столбцов матрицы людей. Агент Смит — один из столбцов матрицы машин.
1. Все собственные числа матриц людей, машин и их произведения (H, R, RH, соответственно) меньше единицы по модулю.
2. Нео — один из собственных векторов матрицы машин. Агент Смит — один из собственных векторов матрицы людей.
Условие успешной реализации плана Пифии. При перестановке местами Нео и Агента Смита (местами меняются соответствующие столбцы матрицы машин и людей) новое произведение матриц имеет хоть одно собственное число больше единицы по модулю.

Численный пример для n=2, в котором план Пифии сработал

Neo = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, Agent Smith = \begin{pmatrix}-7/8\\-7/4\end{pmatrix}

Люди: H = \begin{pmatrix} 1&-3/4\\1&-1\end{pmatrix}

Машины: R = \begin{pmatrix} -7/8&1\\-7/4&15/8\end{pmatrix}

Люди засирают все что видят при t \longrightarrow \infty: H^tX = \begin{pmatrix} 1&-3/4\\1&-1\end{pmatrix}^tX = \begin{pmatrix} -7/8&1\\-7/4&2/3\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1/2&0\\0&1/2\end{pmatrix}^t \begin{pmatrix} -7/8&1\\-7/4&2/3\end{pmatrix}^{-1}X \underset{t \to \infty}{\longrightarrow}

\underset{t \to \infty}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} -7/8&1\\-7/4&2/3\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -7/8&1\\-7/4&2/3\end{pmatrix}^{-1}X = \textbf{0}

Упорство Нео в драке с машинами:  R Neo=\begin{pmatrix} -7/8&1\\-7/4&15/8\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=(1/8) \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}

Упорство Смита в драке с людьми:  H AgentSmith=\begin{pmatrix} 1&-3/4\\1&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-7/8\\-7/4\end{pmatrix}=(-1/2) \begin{pmatrix}-7/8\\-7/4\end{pmatrix}

Вырождение планеты до вмешательства Пифии:  (RH)^t = \begin{bmatrix} \begin{pmatrix} -7/8&1\\-7/4&15/8\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&-3/4\\1&-1\end{pmatrix} \end{bmatrix}^t =\begin{pmatrix} 1/8&-11/32\\1/8&-9/16\end{pmatrix}^t \approx

\approx \begin{pmatrix} 1&1\\1.798&0.202\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -0.493&0\\0&0.055\end{pmatrix}^t \begin{pmatrix} 1&1\\1.798&0.202\end{pmatrix}^{-1} \underset{t \to \infty}{\longrightarrow} \textbf{0}

Спасение планеты после вмешательства Пифии:  R'H')^t = \begin{bmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\1&15/8\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -7/8&-3/4\\-7/4&-1\end{pmatrix} \end{bmatrix}^t =\begin{pmatrix} -21/8&-7/4\\-133/32&-21/8\end{pmatrix}^t \approx

\approx \begin{pmatrix} 1&1\\1.541&-1.541\end{pmatrix}* \begin{pmatrix} -5.322&0\\0&0.072\end{pmatrix}^t \begin{pmatrix} 1&1\\0.62&1.88\end{pmatrix}^{-1} \underset{t \to \infty}{\longrightarrow} L \neq \textbf{0}

Оценка доли миров при n=2, в которых план Пифии сработал бы

Используем метод Монте-Карло для оценки. У нас из 8 чисел, стоящих в матрицах R и H, два заданы условием 0 — а именно первый столбец матрицы H содержит только единицы. Остается 6 неизвестных, но условие 2 (перекрестное равенство столбцов матриц и собственных векторов), реально оставляет всего 4 степени свободы. То есть мы выражаем 2 элемента матриц через остальные 4. В эти 4 элемента накидаем числа равномерно случайно в некоторых заданных заранее границах — они не будут превышать по модулю m. Затем отберем из получившихся примеров такие, которые отвечают условиям 0-2, то есть являются примерами мира Матрицы. И среди них посчитаем долю таковых, где план Пифии сработал.

pifia_experiment2

На графике выше изображен процесс сходимости оценки доли миров при разных m с увеличением количества испытаний. Видно, что сходимость как будто бы есть и к достаточно большим уровням: 66-67%, 76-77% и 83-84% при m равных 5, 10 и 20, соответственно. Это достаточно много.

Заключение

Мы показали, что возможно привести пример мира Матрицы, который удовлетворяет всем условиям интерпретации, то есть она имеет право на жизнь. В рамках этой интерпретации мы увидели, что можно также построить пример, в котором после замены столбцов произведение матриц людей и машин содержит хоть одно большое по модулю собственное число. Это означает, что план Пифии теоретически мог сработать.

Более того, для двумерного случая мы показали, что при не самых больших ограничениях на величину элементов машин и людей, вероятность успеха плана Пифии, судя по всему, больше 50 процентов. И возможно растет с расширением границ. Это значит, что Пифия могла надеяться на успех.

Открытый пока вопрос: велика ли вероятность при n>2. Не исключено, что при росте n работает какое-то «проклятие размерности» и вероятность сильно падает.

Также я не знаю ответа на вопрос, оригинальна ли моя интерпретация — поиск не то, что нормальных вариантов не дал, а вообще ни одного не дал. Но это было бы очень странно, Матрица ж!

Заранее прошу прощения за возможные ошибки, линейная алгебра в обычной жизни мне нужна последнее время крайне редко — мог где-то накосячить. Буду очень рад предложениям или даже просто абстрактным идеям о том, как улучшить интерпретацию или оценку доли.

Оставьте комментарий